總覺得再來一局就能翻盤，恰恰是因?yàn)槲覀冋`把群體平均當(dāng)成了個(gè)體命運(yùn)。

作者：雪鵝，DataCafe

想象你帶著1000元起始資金參加這樣一個(gè)翻硬幣挑戰(zhàn)游戲，你可以選擇一直玩下去：每輪拋一次硬幣，拋到正面，財(cái)富增加80%；拋到反面，財(cái)富減少50%。聽起來是個(gè)穩(wěn)賺不賠的游戲！但現(xiàn)實(shí)是……如果讓10萬個(gè)玩家參加這個(gè)游戲，并讓他們各自玩100輪，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：他們的平均財(cái)富確實(shí)在指數(shù)增長，但絕大多數(shù)人最后的財(cái)富竟然不到72元，甚至破產(chǎn)！為什么平均財(cái)富是增長的，但大多數(shù)人卻越玩越窮？這就是典型的非遍歷性陷阱?？傆X得再來一局就能翻盤，恰恰是因?yàn)槲覀冋`把群體平均當(dāng)成了個(gè)體命運(yùn)。

### 非遍歷性的陷阱：長期平均≠你的真實(shí)命運(yùn)

什么是遍歷性？遍歷性（Ergodicity）這個(gè)概念最早出現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，也在概率論、金融、行為科學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。它試圖回答的核心問題是：長期平均值，是否適用于個(gè)體？我們在做決策時(shí)，到底該相信‘長期平均’，還是‘一次次親身經(jīng)歷’的現(xiàn)實(shí)？

19世紀(jì)，物理學(xué)家路德維?！げ柶澛↙udwig Boltzmann）研究氣體分子運(yùn)動(dòng)時(shí)提出了遍歷性假設(shè)：如果觀察一個(gè)氣體分子足夠久，它會(huì)遍歷所有可能的狀態(tài)。想象一個(gè)封閉的氣體容器，容器中有無數(shù)氣體分子，每個(gè)分子都在碰撞過程中經(jīng)歷不同的速度軌跡。單個(gè)分子的長期軌跡和整個(gè)氣體的統(tǒng)計(jì)分布是相同的，這意味著我們可以用某個(gè)時(shí)刻所有分子的狀態(tài)，來推測單個(gè)分子的長期軌跡。這就是著名的玻爾茲曼的遍歷性假設(shè)。

數(shù)學(xué)上，遍歷性意味著：左側(cè)是時(shí)間平均，描述一個(gè)個(gè)體在足夠長的時(shí)間里，多次經(jīng)歷同一過程后所得的平均結(jié)果；右側(cè)是群體平均，描述在某一時(shí)刻觀察無數(shù)個(gè)體的結(jié)果所得的統(tǒng)計(jì)期望。也就是說：當(dāng)系統(tǒng)滿足遍歷性條件時(shí)，單個(gè)個(gè)體的表現(xiàn)最終會(huì)收斂到群體的“長期平均”。如果世界是遍歷的，每個(gè)人的財(cái)富最終都會(huì)趨近于社會(huì)的平均財(cái)富水平。在遍歷的世界，所有人都能體驗(yàn)到所有可能的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)（富有、貧窮、成功、失?。?，個(gè)體的命運(yùn)總會(huì)收斂到群體的“長期平均”。

但現(xiàn)實(shí)生活往往是非遍歷的：個(gè)體的資源有限，往往在經(jīng)歷到所有可能的路徑前就因某次失敗直接出局。我們經(jīng)常聽到這樣一些具有引導(dǎo)性的言論：“某行業(yè)的平均年收入過百萬?！薄澳橙?0歲就財(cái)務(wù)自由，創(chuàng)業(yè)只花了兩年。”“某指數(shù)基金長期年化收益高，只要堅(jiān)持投就會(huì)變富?！薄@些看似合理的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)仿佛在告訴我們一個(gè)確定的真相。好像只要行動(dòng)，長期平均收益就會(huì)適用于個(gè)體。但這些個(gè)案屬于路徑依賴+不可復(fù)制的非遍歷過程。模仿者無法經(jīng)歷相同歷史背景、關(guān)系網(wǎng)絡(luò)、運(yùn)氣節(jié)點(diǎn)，甚至不知道隱藏失敗者的數(shù)量。數(shù)據(jù)告訴你群體長期的平均值，但現(xiàn)實(shí)卻充滿短期的“斷崖式失敗”。這正是非遍歷性最隱蔽的陷阱——大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的平均值≠個(gè)體的真實(shí)命運(yùn)。一次崩潰對于個(gè)體來說可能再也無法彌補(bǔ)，一次失敗可能讓人徹底出局，無法再回歸到“平均狀態(tài)”。我們每個(gè)人的生命路徑只能經(jīng)歷一次，無法像賭場一樣吃群體的長期平均，等著概率在無數(shù)次個(gè)賭徒中平均化。

### 為何個(gè)體的長期命運(yùn)大多比“平均值”更差？

在非遍歷系統(tǒng)中，個(gè)體長期表現(xiàn)往往低于群體平均。這不是偶然，而是系統(tǒng)性的結(jié)構(gòu)特征。光鮮的平均值往往是被極少數(shù)創(chuàng)業(yè)成功、投資暴富、逆襲上岸的故事拉了上去，更多人的失敗從未進(jìn)入統(tǒng)計(jì)。現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)在多數(shù)情況下是乘法型、且具有路徑依賴的特征——比如投資的復(fù)利、健康的衰退、聲譽(yù)的損毀。這類系統(tǒng)的典型特征是：上行有限，下行無底。一次破產(chǎn)，可能毀掉一生；一次錯(cuò)誤決策，可能徹底改變命運(yùn)；一次失信可能徹底摧毀信任；而能賺到的財(cái)富、漲的績效、建立的優(yōu)勢卻總是有限。這正是為什么在數(shù)學(xué)上，乘法型過程的長期增長率并不等于“平均收益”，而是更接近于：相比之下，群體平均通常用的是算術(shù)平均，由于對數(shù)函數(shù)是嚴(yán)格凹函數(shù)，基于Jensen不等式，有：因此，乘法系統(tǒng)的長期增長率（即幾何平均）始終小于算術(shù)平均。波動(dòng)越大，這個(gè)差距越明顯。算術(shù)平均是告訴你‘如果永遠(yuǎn)幸運(yùn)會(huì)怎樣’，而幾何平均告訴你‘在真實(shí)世界里走過風(fēng)雨之后你剩下多少?！@意味著個(gè)體的長期表現(xiàn)總是遠(yuǎn)低于“群體平均收益”，不是運(yùn)氣不好而是結(jié)構(gòu)使然。

### 如何做最優(yōu)決策？凱利公式的黃金分割線

那么在人生決策中，我們能做點(diǎn)什么避免在長期游戲中歸零的命運(yùn)？如何既不破產(chǎn)出局，還能實(shí)現(xiàn)長期復(fù)利？答案是：永遠(yuǎn)不要All in，學(xué)會(huì)凱利下注！凱利公式（Kelly Criterion）是一種用于重復(fù)博弈中的最優(yōu)下注策略，目標(biāo)是最大化長期收益的同時(shí)避免短期虧光出局。它最初由約翰·凱利（John L. Kelly Jr.）于1956年在貝爾實(shí)驗(yàn)室提出，原意是解決通信系統(tǒng)中“如何在有噪聲的信道中分配信號功率”，以實(shí)現(xiàn)信息傳輸效率最大化。后來這套理論很快就跨界出圈。美國數(shù)學(xué)家、投資奇才愛德華·索普（Edward Thorp）發(fā)現(xiàn)凱利公式能夠優(yōu)化財(cái)富增長路徑。他將凱式帶進(jìn)賭場，在《Beat the Dealer》中首次用它系統(tǒng)性打敗了21點(diǎn)莊家，之后又帶進(jìn)了華爾街，在《Beat the Market》中繼續(xù)“收割”。這一準(zhǔn)則本質(zhì)上等價(jià)于最大化對數(shù)期望收益（log-utility），從而兼顧了增長與風(fēng)險(xiǎn)之間的動(dòng)態(tài)平衡。它幫你在“活得長久”和“賺得夠多”之間，找到一個(gè)最優(yōu)平衡點(diǎn)。

凱利公式：其中，成功的概率是p，失敗的概率是q = 1-p；成功時(shí)的收益倍率（不包含本金）是b，失敗時(shí)的虧損比例是a（通常是1，如果虧的是全部下注金額）?；氐介_篇提到的拋硬幣游戲，你可以選擇下注一定比例的本金一直玩下去，但每次押多少最合理？也就是說，凱利公式建議你每次投入總資金的37.5%。押得太多，即使有優(yōu)勢，也可能因?yàn)閹状芜B輸直接爆倉；押得太少，又錯(cuò)過了本該屬于你的增長。凱利公式的意義就在于：找到那個(gè)既能長期賺最多，又能活得下去的點(diǎn)。

補(bǔ)充一點(diǎn)，凱利公式對勝率賠率非常敏感，但現(xiàn)實(shí)中這些參數(shù)往往不確定或動(dòng)態(tài)變化，因此許多穩(wěn)健的實(shí)踐者會(huì)選擇凱利建議值的一半（被稱為半凱利策略）以換取更平滑的收益路徑。

### 模擬實(shí)驗(yàn)：10萬人翻硬幣賭局，多少人能“活”下來？

為了更直觀地理解不同的下注策略對個(gè)體命運(yùn)的影響，我模擬了10萬人參與開篇的拋硬幣游戲，總共進(jìn)行200輪，每人獨(dú)立進(jìn)行游戲。游戲規(guī)則依舊是：本金1000，正面朝上賺80%，反面虧50%。玩家可以選擇固定的下注比例：比如押全部（100%），押65%，37.5%，……結(jié)果……100%下注的玩家?guī)缀跞珳?！最終財(cái)富呈“冪律分布”，雖有極少數(shù)人暴富，但絕大部分人玩家都破產(chǎn)了。我們對比這4種不同的下注策略的玩家財(cái)富分布，資產(chǎn)分布越右玩家資產(chǎn)越高。

a. 100%下注：幾乎所有人破產(chǎn)全押策略下的最終資產(chǎn)分布有龐大的左側(cè)貧困峰 + 極細(xì)的右側(cè)暴富尾結(jié)構(gòu)：大部分人破產(chǎn)，極少數(shù)人賺走所有的錢，這就是博弈不對稱性 + 幸存者偏差的真實(shí)呈現(xiàn)。

b. 65%下注：依舊兩極分化，仍有大量人破產(chǎn)

c. 37.5%下注（凱利公式）：財(cái)富穩(wěn)定增長凱利下注策略下，資產(chǎn)分布明顯右移，多數(shù)人資產(chǎn)增長且分布集中，是最優(yōu)財(cái)富積累模型。

d. 10%下注：幾乎無人破產(chǎn)但回報(bào)太低沒有了類似全押情況下的破產(chǎn)分布尖峰，但整體財(cái)富集中在低資產(chǎn)區(qū)。相比之下，37.5%策略會(huì)在右側(cè)拉出明顯長尾，實(shí)現(xiàn)資產(chǎn)倍增。凱利下注是唯一兼顧“多數(shù)情況下不破產(chǎn)”和“可觀增值”的策略，是數(shù)學(xué)上最優(yōu)的長期生存策略。這正是凱利公式的精髓：它不是讓你贏得最多，而是確保你能活得夠久。

### 凱利公式中的生活哲學(xué)

凱利公式告訴我們，長期成功的秘訣是學(xué)會(huì)把控“下注”的比例。人生不是比誰能打出一次暴擊，而是比誰能一直玩下去。在職業(yè)上，不是憑一腔熱血裸辭、也不是固守舒適區(qū)，是持續(xù)布局，提升能力，敢于換道，留一手選擇權(quán)；在投資中，是不梭哈暴富，而是根據(jù)賠率控制倉位，留得籌碼；在關(guān)系里，是不把全部情緒和價(jià)值寄托于一人，而是投入同時(shí)保有自我；在成長和自律上，不靠一次爆發(fā)去獲得改變，而是通過穩(wěn)定、復(fù)利式地優(yōu)化生活結(jié)構(gòu)。人生就像一場漫長的游戲，你的目標(biāo)不是贏一次，而是確保自己能一直玩下去。只要不出局，一定會(huì)有好事發(fā)生。

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